A NAGY MÁGUSSAL KÉSZÍTETT INTERJÚ A BLOGARCHÍVUMBAN OLVASHATÓ, DE HOGY IS JUTUN EL A KAOSZ ELMÉLETTŐL A KÉPEKIG, ENNEK A LEGVÉGÉT MESÉLEM EL. a LÉNYEG, S BONYOLULTABB KÉSŐBB.
Ez a pár gondolat a matematika és a számítástechnika összefonódásának szépségét próbálja bemutatni.
Léteznek különböző közismert egyenlőségek, amik a legtöbb ember számára mondanak valamit, például a pitagoraszi .
Ekkor talán mindenki előtt feldereng egy derékszögű háromszög képe. Egy egyszerű alakzat, el tudjuk képzelni?
Itt egy másik képlet: Z = Z + c. Annyi a különbség, hogy Z és c komplex számok. A komplex számok annyiban különböznek a "megszokott" valós számoktól,. hogy két tényezőből állnak, valahogy így: Z = 6 + 4i. Ez EGY darab szám. A komplex számok jól ábrázolhatók koordináta rendszerekben.
Ha egy számot elég sokszor megszorzunk önmagával (itt: sokszor elvégezzük a Z = Z + c értékadást), akkor vagy végtelenbe tart, vagy nullához a szám kezdeti értékétől függően.
Végezzük el egy koordinátarendszer különböző pontjaira sokszor ezt a szorzást és öszszeadást, majd vizsgáljuk meg az eredményt. Ha a szám nullává válik, a pontot színezzük feketére, ha végtelenbe tart (nagyon nagy lesz), akkor szürkére.
Milyen alakzatot kapunk? Ezt, és más hasonló alakzatokat vizsgálta a '70-es évek végén Benoit Mandelbrot, egy lengyel származású matematikus, aki az IBM-nél és a Harvard Egyetemen dolgozott. Amikor az első kinyomtatott képeket megnézte, azt hitte, hogy valami baj van a nyomtatójával. Valami hasonlót láthatott: A képen a különböző szürke árnyalatok azt mutatják, hogy a számítógép mennyi idő alatt döntötte el, hogy a vizsgált pont végtelenbe tart.
A Mandelbrot-halmaz határa - enyhén szólva - bizonytalan. Hogy mennyire bizonytalan, azt szemléltesse a következő kép: Amit látunk, az a fenti kép bekeretezett részének erős nagyítása színesben. A pontok, amik a spirálon "belül" vannak, nullához tartanak (elemei a halmaznak), a többi nem.
Nagyíthatnánk végtelenségig, de akkor is végtelenül bonyolult lenne a halmaz határának ábrája.
Mandelbrot a hasonló, tört dimenziójú alakzatokat elnevezte fraktáloknak (a latin fractus = tört szóból).
A fraktálokat elvileg már az ókorban is felfedezhették volna, mivel az előállító képlet, mint láttuk, nagyon egyszerű. Viszont a szép képek előállításához több milliárd hatványozásra és összeadásra van szükség, amit csak egy számítógép képes elvégezni elfogadható időn beül.
Mára a fraktálok megjelentek a mindennapi életben is, kaphatók fraktálmintás tapéták, mobiltelefon-előlapok, szőnyegek az üzletekben.
Képzeljük el, hogy valaki egy sci-fi filmet készít, amelyben látunk egy idegen bolygóra való leszállást: ahogy lefelé ereszkedünk, újabb és újabb részek tűnnek elő. Ezt élőben nyilván nem filmezhették. Egy ügyes rajzművész hosszas és drága munkával meg tud rajzolni egy élethűnek látszó bolygófelszínt, de akkor az összes részletet rá kell vinnie, és különböző távolságokból kell filmezni. Ennél egyszerűbb durván megadni a szárazföldek alakját, s utána a számítógéppel véletlenszerű fraktálokat rajzoltatni. Teljesen hihető lesz; legalábbis ha idegen bolygó idegen kontinenséről van szó. Hasonlóképp, ha megadjuk egy hegy szélességét, magasságát és dimenziószámát, a gép (fillérekért) rajzol egy kielégítő hegyet.
Az interneten nagyon sok fraktálrajzoló programot, képgalériát találhatunk, elég, ha például Google-val rákeresünk a "Mandelbrot" vagy "fractal" kulcsszavakra.
Léteznek különböző közismert egyenlőségek, amik a legtöbb ember számára mondanak valamit, például a pitagoraszi .
Ekkor talán mindenki előtt feldereng egy derékszögű háromszög képe. Egy egyszerű alakzat, el tudjuk képzelni?
Itt egy másik képlet: Z = Z + c. Annyi a különbség, hogy Z és c komplex számok. A komplex számok annyiban különböznek a "megszokott" valós számoktól,. hogy két tényezőből állnak, valahogy így: Z = 6 + 4i. Ez EGY darab szám. A komplex számok jól ábrázolhatók koordináta rendszerekben.
Ha egy számot elég sokszor megszorzunk önmagával (itt: sokszor elvégezzük a Z = Z + c értékadást), akkor vagy végtelenbe tart, vagy nullához a szám kezdeti értékétől függően.
Végezzük el egy koordinátarendszer különböző pontjaira sokszor ezt a szorzást és öszszeadást, majd vizsgáljuk meg az eredményt. Ha a szám nullává válik, a pontot színezzük feketére, ha végtelenbe tart (nagyon nagy lesz), akkor szürkére.
Milyen alakzatot kapunk? Ezt, és más hasonló alakzatokat vizsgálta a '70-es évek végén Benoit Mandelbrot, egy lengyel származású matematikus, aki az IBM-nél és a Harvard Egyetemen dolgozott. Amikor az első kinyomtatott képeket megnézte, azt hitte, hogy valami baj van a nyomtatójával. Valami hasonlót láthatott: A képen a különböző szürke árnyalatok azt mutatják, hogy a számítógép mennyi idő alatt döntötte el, hogy a vizsgált pont végtelenbe tart.
A Mandelbrot-halmaz határa - enyhén szólva - bizonytalan. Hogy mennyire bizonytalan, azt szemléltesse a következő kép: Amit látunk, az a fenti kép bekeretezett részének erős nagyítása színesben. A pontok, amik a spirálon "belül" vannak, nullához tartanak (elemei a halmaznak), a többi nem.
Nagyíthatnánk végtelenségig, de akkor is végtelenül bonyolult lenne a halmaz határának ábrája.
Mandelbrot a hasonló, tört dimenziójú alakzatokat elnevezte fraktáloknak (a latin fractus = tört szóból).
A fraktálokat elvileg már az ókorban is felfedezhették volna, mivel az előállító képlet, mint láttuk, nagyon egyszerű. Viszont a szép képek előállításához több milliárd hatványozásra és összeadásra van szükség, amit csak egy számítógép képes elvégezni elfogadható időn beül.
Mára a fraktálok megjelentek a mindennapi életben is, kaphatók fraktálmintás tapéták, mobiltelefon-előlapok, szőnyegek az üzletekben.
Képzeljük el, hogy valaki egy sci-fi filmet készít, amelyben látunk egy idegen bolygóra való leszállást: ahogy lefelé ereszkedünk, újabb és újabb részek tűnnek elő. Ezt élőben nyilván nem filmezhették. Egy ügyes rajzművész hosszas és drága munkával meg tud rajzolni egy élethűnek látszó bolygófelszínt, de akkor az összes részletet rá kell vinnie, és különböző távolságokból kell filmezni. Ennél egyszerűbb durván megadni a szárazföldek alakját, s utána a számítógéppel véletlenszerű fraktálokat rajzoltatni. Teljesen hihető lesz; legalábbis ha idegen bolygó idegen kontinenséről van szó. Hasonlóképp, ha megadjuk egy hegy szélességét, magasságát és dimenziószámát, a gép (fillérekért) rajzol egy kielégítő hegyet.
Az interneten nagyon sok fraktálrajzoló programot, képgalériát találhatunk, elég, ha például Google-val rákeresünk a "Mandelbrot" vagy "fractal" kulcsszavakra.
